1、拉普拉斯方程表示液面曲率與液體壓力之間的關系的公式。
【資料圖】
2、一個彎曲的表面稱為曲面,通常用相應的兩個曲率半徑來描述曲面,即在曲面上某點作垂直于表面的直線,再通過此線作一平面,此平面與曲面的截線為曲線,在該點與曲線相重合的圓半徑稱為該曲線的曲率半徑R1。
3、通過表面垂線并垂直于第一個平面再作第二個平面并與曲面相交,可得到第二條截線和它的曲率半徑R2,用 R1與R2可表示出液體表面的彎曲情況。
4、若液面是彎曲的,液體內部的壓力p1與液體外的壓力p2就會不同,在液面兩邊就會產生壓力差△P= P1- P2,其數(shù)值與液面曲率大小有關,可表示為: 在數(shù)理方程中,拉普拉斯方程為:△u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0,其中△為拉普拉斯算子,此處的拉普拉斯方程為二階偏微分方程。
5、三維情況下,拉普拉斯方程可由下面的形式描述,問題歸結為求解對實自變量x、y、z二階可微的實函數(shù)φ : 上面的方程常常簡寫作: 或 其中div表示矢量場的散度(結果是一個標量場),grad表示標量場的梯度(結果是一個矢量場),或者簡寫作: 其中Δ稱為拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解稱為調和函數(shù)。
6、 如果等號右邊是一個給定的函數(shù)f(x, y, z),即: 則該方程稱為泊松方程。
7、 拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的橢圓型偏微分方程。
8、偏微分算子或Δ(可以在任意維空間中定義這樣的算子)稱為拉普拉斯算子,英文是 Laplace operator 或簡稱作 Laplacian。
9、 拉普拉斯方程的狄利克雷問題可歸結為求解在區(qū)域D內定義的函數(shù)φ,使得在D的邊界上等于某給定的函數(shù)。
10、為方便敘述,以下采用拉普拉斯算子應用的其中一個例子——熱傳導問題作為背景進行介紹:固定區(qū)域邊界上的溫度(是邊界上各點位置坐標的函數(shù)),直到區(qū)域內部熱傳導使溫度分布達到穩(wěn)定,這個溫度分布場就是相應的狄利克雷問題的解。
11、 拉普拉斯方程的諾伊曼邊界條件不直接給出區(qū)域D邊界處的溫度函數(shù)φ本身,而是φ沿D的邊界法向的導數(shù)。
12、從物理的角度看,這種邊界條件給出的是矢量場的勢分布在區(qū)域邊界處的已知效果(對熱傳導問題而言,這種效果便是邊界熱流密度)。
13、 拉普拉斯方程的解稱為調和函數(shù),此函數(shù)在方程成立的區(qū)域內是解析的。
14、任意兩個函數(shù),如果它們都滿足拉普拉斯方程(或任意線性微分方程),這兩個函數(shù)之和(或任意形式的線性組合)同樣滿足前述方程。
15、這種非常有用的性質稱為疊加原理。
16、可以根據(jù)該原理將復雜問題的已知簡單特解組合起來,構造適用面更廣的通解。
17、 在流場中的應用 設u、v 分別為滿足定常、不可壓縮和無旋條件的流體速度場的x 和y 方向分量(這里僅考慮二維流場),那么不可壓縮條件為: 無旋條件為: 若定義一個標量函數(shù)ψ,使其微分滿足: 那么不可壓縮條件便是上述微分式的可積條件。
18、積分的結果函數(shù)ψ稱為流函數(shù),因為它在同一條流線上各點的值是相同的。
19、ψ的一階偏導為: 無旋條件即令 ψ 滿足拉普拉斯方程。
20、ψ的共軛調和函數(shù)稱為速度勢。
21、 柯西-黎曼方程要求 所以每一個解析函數(shù)都對應著平面內的一個定常不可壓縮無旋流場。
22、解析函數(shù)的實部為速度勢函數(shù),虛部為流函數(shù)。
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